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| Aufgabe 31 |
Bestimme alle reellen Lösungen des Systems
x + y + z = 3
x2 + y2 + z2 = 3
x5 + y5 + z5 = 3
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| Aufgabe 32 |
Zeige: Unter 7 verschiedenen reellen Zahlen gibt es stets (mindestens)
zwei Zahlen x, y mit
 .
(Canadian Mathematical Olympiad 1984)
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| Aufgabe 33 |
Der Term f(n) ist die Summe der ersten n Glieder der Folge
0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, …
- Bestimme f(n).
- Zeige: f(s + t) - f(s - t) = st,
wobei s, t positive ganze Zahlen mit s > t
sind.
(Australian Mathematical Olympiad 1985)
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| Aufgabe 34 |
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC. Innerhalb der Seiten AB
bzw. BC liegen die Punkte D, E so, dass
DE || AC und DE Tangente an den Inkreis des gegebenen Dreiecks
ist.
Zeige: 8 · DE ≤ AB + BC + CA.
Hinweis: Die Schreibweise AB für eine Streckenlänge |AB|
ist international üblich.
(Australian Mathematical Olympiad 1998)
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| Aufgabe 35 |
Gegeben ist die Menge M = {1, 2, …, N}. Für welchen
größten Wert von N ist die Anzahl der durch 3 teilbaren Zahlen
aus M gleich der Anzahl von Zahlen aus M, die durch 5 oder 7
(oder durch beide) teilbar sind?
(XIIIth Asian Pacific Mathematics Olympiad)
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