„Altes und Neues aus der Geometrie” ist ein Lehrbuch zum Einstieg in die elementare Diskrete Geometrie. Zielgruppe sind Studierende für das Lehramt Mathematik, Mathematiklehrende und alle, die an Mathematik interessiert sind.

Gegliedert ist das Buch in fünf voneinander unabhängig lesbare Kapitel. Jedes Kapitel startet mit einem Problem der antiken klassischen Mathematik: Parallelenproblem, Konstruktion regulärer Polygone, Quadratur des Kreises, Verdoppelung des Würfels und Dreiteilung des Winkels. Von diesen Problemen ausgehend geht es zu verwandten Fragestellungen über. So werden am Ende des Buches Kreispackungen in der Ebene und Kugelpackungen im Raum behandelt. Ganz aktuell wurde für die Bestimmung der dichtesten Kugelpackung im 24-dimensionalen Raum eine Fields-Medaille vergeben (Fields-Medaillen-Gewinner 2022).

Es wird auch klar, dass es bei geometrischen Betrachtungen nicht ohne Algebra, Analysis und analytische Geometrie geht. Entsprechende thematische Einführungen sind im Buch enthalten. Jedes Kapitel zeichnet sich durch umfangreiche historische Betrachtungen aus.

Auch wenn die Kapitel voneinander unabhängig sind, empfiehlt es sich, mit dem ersten Kapitel zu beginnen. Hier geht es von den ersten Beschäftigungen der Menschen mit Geometrie hin zu den „Elementen” des Euklid (ca. 300 v. Chr.), also der ersten Zusammenfassung des mathematischen Wissens. Diese „Elemente” sind die Basis der axiomatische Begründung der Geometrie. Die Gedankenkette im Buch führt weiter zum „Erlanger Programm” von Felix Klein, in dem beschrieben wird, was unter Geometrie zu verstehen ist.

Anschließend werden Beispiele zur Diskreten Geometrie, die im Zusammenhang mit axiomatischen Betrachtungen stehen, besprochen: endliche affine Ebenen, endliche metrische Räume und Hammingräume. Es werden auch Fragen diskutiert, wie am Computerbildschirm eine Strecke (aus Pixeln) dargestellt oder wie bei der Übertragung eines Codewortes (mit höchstens einem Fehler) das richtige Codewort ermittelt werden kann.

Die weiteren Kapitel enthalten Betrachtungen zu den Themen

• reguläre Polygone und deren Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal,
• Symmetrie, Streifenornamente und Wandmustergruppen,
• Quadrat- und Würfelverdoppelungen,
• elementare bzw. disjunkte Teilungen von Winkeln, Strecken, Kreisbögen und Geburtstagstorten,
• Pflasterungen in der euklidischen und nichteuklidischen Ebene,
• Zerlegungen von Polygonen in Polygone, Selbstähnlichkeit von Polygonen und perfekte Quadratzerlegungen,
• Würfelzerlegungen,
• Packungen und Überdeckungen mit Kreisen bzw. Kugeln und die Wurstvermutung (siehe Wurzel 5/2015: Optimale Kugelpackungen und die Wurstkatastrophe).

„Altes und Neues aus der Geometrie” ist ein schönes Buch. Es bietet dem Leser interessante Themenbereiche, die historische Betrachtungen mit aktueller Forschung verbinden und zu eigener Arbeit anregen können. Interessierte Lehrende können aus dem Material schöpfen und viele Themen für ihren Mathematikunterricht aufbereiten.