Die vollständigen Teilnahmebedingungen und -coupons für den Bundeswettbewerb Mathematik finden Sie auf dem Aufgabenblatt, das Ihre Schule erhalten hat oder das bei der unten angegebenen Adresse angefordert werden kann. Einsendeschluss für die 1. Runde ist der 1. März 2006 (Datum des Poststempels).

Aufgabe 1

Man finde zwei aufeinander folgende positive ganze Zahlen, deren Quersummen beide durch 2006 teilbar sind.

Aufgabe 2

Man beweise, dass es keine ganzen Zahlen x und y gibt, für die die Gleichung x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) gilt.

Aufgabe 3

Für die Seitenlängen a, b und c eines Dreiecks gelte die Beziehung a² + b² > 5c². Man beweise, dass dann c die Länge der kürzesten Seite ist.

Aufgabe 4

Ein quadratisches Blatt Papier liegt auf dem Tisch. Es wird schrittweise in mehrere Teile zerschnitten: Bei jedem Schritt wird ein Teil vom Tisch genommen und durch einen geraden Schnitt in zwei Teile zerlegt; diese beiden Teile werden auf den Tisch zurückgelegt.

Man bestimme die kleinste Anzahl an Schritten, mit denen man erreichen kann, dass sich auf dem Tisch unter den Teilen wenigstens 100 Zwanzigecke befinden.

Anmerkung

In den Aufgaben 1 und 4 ist die Richtigkeit der Resultate zu beweisen.