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Bundeswettbewerb Mathematik
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Aufgaben der ersten Runde
Hier sind die neuesten Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik.
Die vollständigen Teilnahmebedingungen und -coupons finden Sie
unter www.bundeswettbewerb-mathematik.de
Einsendeschluss für die 1. Runde ist der 1. März 2001
(Datum des Poststempels).
Aufgabe 1
Auf dem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielsteinen, der
schrittweise in Haufen mit je drei Steinen umgewandelt werden
soll. Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen ausgewählt,
daraus ein Stein entfernt und der Resthaufen in zwei Haufen
zerlegt wird.
Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten
Schritten erreicht werden?
Ergänzende Bemerkungen: Die Richtigkeit der
Antwort muss bewiesen werden. Ein Haufen besteht immer aus mindestens
einem Stein.
Aufgabe 2
Von einer Folge (a0,
a1, a2, …)
reeller Zahlen sei bekannt:
a0 = 1 und
an+1 = an + √an+1 + an
für alle natürlichen Zahlen n.
Man beweise, dass nur eine einzige Folge mit diesen Eigenschaften
existiert, und gebe eine explizite Formel für an an.
Aufgabe 3
Gegeben sei ein spitzwinkliges Dreieck ABC mit
Umkreismittelpunkt O. Die Gerade (BO) schneide den
Umkreis nochmals in D, und die Verlängerung der von
A ausgehenden Höhe schneide den Kreis in E.
Man beweise, dass das Viereck BECD und das Dreieck ABC
den gleichen Flächeninhalt haben.
Aufgabe 4
Man beweise: Bei jeder positiven ganzen Zahl ist die Anzahl der
Teiler, deren Dezimaldarstellung auf 1 oder 9 endet, nicht
kleiner als die Anzahl der Teiler, deren Dezimaldarstellung auf
3 oder 7 endet.
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