Aufgabe 4

Es seien f(x) = 0,5x² + x + t und g(x) = tx + t mit einem Parameter t ∈ R. Ermittle f so, dass sich die Schaubilder von f und g berühren.

1. Lösungsweg

Durch Gleichsetzen folgt

0,5x² + x + t = tx + t
0,5x² + (1 − t)x = 0
x(0,5x + 1 − t) = 0

also x₁ = 0 oder 0,5x + 1 − t = 0 ⇒ x₂ = 2t − 2.

Berührung sich f und g, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Dies ist der Fall, wenn die zwei Lösungen übereinstimmen, d.h. x₁ = x₂ ⇒ 0 = 2t − 2 ⇒ t = 1.

Eingesetzt in den allgemeinen Term folgt:

Antwort: f(x) = 0,5x² + x + 1.

2. Lösungsweg

Die Steigung der Funktion ist f'(x) = x + 1. Die Steigung der Geraden ist m = t. Bei Berührung müssen die zwei Steigungen gleich sein. Daraus folgt t = x + 1.

Eingesetzt in den allgemeinen Term erhalten wir f(x) = 0,5x² + x + x + 1 = 0,5x² + 2x + 1.

Antwort: f(x) = 0,5x² + 2x + 1.

Die zwei Lösungswege haben zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtigt? Was ist falsch? Warum?

Einführung und weitere Aufgaben