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Aufruf zur Diskussion

Ein Mathematiklehrer aus Celle hat sich mit einer Fragestellung zum Thema Computereinsatz kontra klassische Mathematik an die Redaktion gewandt. Da ihn auch besonders die Meinung der Wurzel-Leser und -Autoren interessiert, möchten wir seinen Brief als Diskussionsaufruf veröffentlichen und würden gern die Reaktionen in einem späteren Heft zusammenfassen. Antworten können Sie uns wie üblich per Post oder e-Mail zukommen lassen.

Herr R. Baumann schrieb uns Folgendes (Auszug):

Meine Beobachtung: Mit Computerunterstützung können durchschnittliche Schüler Aufgaben lösen, die für sie ohne diese Hilfe unzugänglich sind. Zur Illustration füge ich eine Lösung einer Schülerin für die Aufgabe ι 34 an. Natürlich wird die von Ihnen später publizierte Lösung um Vieles kürzer und eleganter sein. Bemerkenswert scheint mir daran zu sein, dass die Schülerin rein begrifflich argumentiert, d.h. keinerlei Formeln (z.B. für die Parabeltangenten) verwendet, dass sie vielmehr das Hantieren mit Formeln vollständig dem Computeralgebrasystem überlässt.

Meine Frage: Beinhaltet eine solche Lösung Mathematikverständnis – und zwar im “klassischen” Sinn? Sollen wir im Mathematikunterricht Lösungen dieser Art erwarten – oder ist dies eine nicht förderungswürdige Form des Mathematik-Treibens?

Aufgabe ι 34 (Wurzel Heft 7/02):

Zwei beliebige Tangenten der Parabel y = ax2 schließen mit der x-Achse ein Dreieck ein. Man beweise, dass der Umkreis dieses Dreiecks durch den Brennpunkt der Parabel geht.

Lösung mit Derive 5:

Zunächst bestimme ich die Tangenten an den Stellen x1 und x2 von f(a,x) = ax2 und rechne ihre Schnittpunkte aus:
        #1: f(a,x) := a*x^2
        #2: Brennpunkt(a) := [0,1/(4*a)]
        #3: Tangente(a,x0) := y=f(a,x0)+SUBST(DIF(f(a,x),x),x,x0)*(x-x0)
        #4: Schnitt(g,h) := FIRST(SOLUTIONS([g,h],[x,y]))
        #5: Tangentenabschnitt(a,x1,x2) :=
              Schnitt(Tangente(a,x1), Tangente(a,x2))
        #6: Dreieck(a,x1,x2) :=
              [Schnitt(Tangente(a,x1),y=0), Schnitt(Tangente(a,x2),y=0),
                Tangentenabschnitt(a,x1,x2)]
        
Zu einem beliebigen Dreieck D werden nun zwei Mittelsenkrechten konstruiert; ihr Schnittpunkt ist der Umkreismittelpunkt.
        #10: ms1(D) := ([x,y]-(D SUB 2 + D SUB 3)/2)*(D SUB 2 - D SUB 3) =0
        #11: ms2(D) := ([x,y]-(D SUB 3 + D SUB 1)/2)*(D SUB 3 - D SUB 1) =0
        #12: Umkreismittelpunkt(D) := Schnitt(ms1(D), ms2(D))
        #13: Kreis(M,r) := ([x,y]-M)^2-r^2=0
        #14: Umkreis(D):= Kreis(Umkreismittelpunkt(D),
                              ABS(Umkreismittelpunkt(D) - D SUB 1))
        
Der Beweis der Behauptung (für alle a und alle x1, x2) wird dadurch erbracht, dass in die Umkreisgleichung für die Variablen x und y die Koordinaten des Brennpunktes eingesetzt werden:
        #20: SUBST(Umkreis(Dreieck(a,x1,x2)), [x,y],
                 Brennpunkt(a) SUB 1, Brennpunkt(a) SUB 2) = (0=0)
        
Das Ergebnis “0 = 0” zeigt, dass die linke Seite der Kreisgleichung den Wert 0 ergibt; sie wird also durch die Brennpunktkoordinaten erfüllt.

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