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Schlaue Leute werden durch die Fehler von anderen klug

Aufgabe 7

In zwei gleich aussehenden Umschlägen befinden sich zwei Geldsummen, wobei in dem einen Umschlag doppelt so viel ist wie in dem anderen.

Matthias wählt einen Umschlag aus, öffnet ihn und zählt das Geld. Im Anschluss kann er sich entscheiden, ob er diesen Umschlag behält oder lieber doch den anderen wählt. Bei welcher Strategie hat Matthias bessere Chancen?

Anmerkung: Matthias weiß nicht, wie viel die größere Geldsumme beträgt.

1. Lösungsweg

Wenn Matthias den anderen Umschlag wählt, kann er entweder 100% gewinnen (wenn er das Doppelte bekommt) oder 50% verlieren (wenn er die Hälfte bekommt). Da 100% > 50% folgt:

Antwort: Die bessere Strategie besteht darin, den anderen Umschlag zu wählen.

2. Lösungsweg

Das Geld aus dem ausgewählten Umschlag sei x. In dem anderen Umschlag gibt es somit entweder 2x oder x/2 jeweils mit Wahrscheinlichkeit ½. Damit ist der Erwartungswert E = ½ · 2x + ½ · x/2 = 1,25x. Wegen 1,25x > x gilt:

Antwort: Die bessere Strategie besteht darin, den anderen Umschlag zu wählen.

3. Lösungsweg

Die zwei Umschläge sind gleichwahrscheinlich. Da Matthias die größere Geldsumme nicht kennt, spielt es keine Rolle, ob er bei dem ausgewählten Umschlag bleibt oder aber doch den anderen wählt.

Antwort: Die zwei Strategien bieten Matthias gleiche Chancen.

Die drei Lösungswege haben zu drei unterschiedlichen Ergebnissen geführt.

Widerspruch! – Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

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