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Schlaue Leute werden durch die Fehler von anderen klug
Schuljahr 2006/2007

Aufgabe 3

Fichten werden nicht größer als etwa S = 50m. Das Wachstum einer Fichte wird durch zwei Modellrechnungen untersucht:

Modell A (beschränktes Wachstum):
B(t + 1) = B(t) + 0,005·(50 − B(t))
Modell B (logistisches Wachstum):
B(t + 1) = B(t) + 0,005·B(t)·(50 − B(t))
Es wird eine 30cm hohe Fichte gepflanzt. Wie hoch wird sie in 3 Jahren?

Lösung

Laut Angabe ist B(0) = 0,3m und S = 50m.

Modellrechnung A

B(1) = B(0) + 0,005·(50 − B(0)) ≈ 0,55m
B(2) = B(1) + 0,005·(50 − B(1)) ≈ 0,80m
B(3) = B(2) + 0,005·(50 − B(2)) ≈ 1,04m

Antwort: Nach Modell A wird die Fichte in 3 Jahren etwa 1,04m hoch.

Bemerkung: Mit B(0) = 3dm und S = 500dm führen wir die Berechnungen noch einmal durch.

B(1) = B(0) + 0,005·(500 − B(0)) ≈ 5,49dm
B(2) = B(1) + 0,005·(500 − B(1)) ≈ 7,96dm
B(3) = B(2) + 0,005·(500 − B(2)) ≈ 10,42dm

Das Ergebnis wurde bestätigt, denn 1,04m ≈ 10,42dm.

Modellrechnung B

B(1) = B(0) + 0,005·B(0)·(50 − B(0)) ≈ 0,37m
B(2) = B(1) + 0,005·B(1)·(50 − B(1)) ≈ 0,47m
B(3) = B(2) + 0,005·B(2)·(50 − B(2)) ≈ 0,58m

Antwort: Nach Modell B wird die Fichte in 3 Jahren etwa 0,58m hoch.

Bemerkung: Mit B(0) = 3dm und S = 500dm führen wir die Berechnungen noch einmal durch.

B(1) = B(0) + 0,005·B(0)·(500 − B(0)) ≈ 10,46m
B(2) = B(1) + 0,005·B(1)·(500 − B(1)) ≈ 36,05m
B(3) = B(2) + 0,005·B(2)·(500 − B(2)) ≈ 119,66m

Ein Vergleich der Ergebnisse zeigt:

1,04m ≠ 0,58m – Widerspruch!
0,58m ≠ 119,66dm – Widerspruch!

Was ist richtig? Was ist falsch? Warum?

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