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Neuigkeiten aus der Zahlentheorie

Der 13. Mai hatte es, aus Sicht von Zahlentheoretikern betrachtet, in sich: Zum einen wurde in einem Seminar in Havard ein Beweis dazu, dass es unendlich viele Paare aufeinanderfolgender Primzahlen gibt, deren Differenz nicht größer als ca. 70 Millionen ist, vorgestellt, zum anderen tauchte auf dem Preprint-Server arXiv ein Paper auf, das den Beweis der schwachen Goldbach-Vermutung beinhalten soll.

Die Aussage, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit einer Differenz von höchstens ca. 70 Millionen gibt, ist ein wichtiger Schritt hin zum Beweis der Primzahlzwillings-Vermutung. Schon die Griechen versuchten zu beweisen, dass es unendliche viele Primzahlzwillinge gibt. Bis zur Arbeit, die der Mathematiker Zhang Yitang unlängst präsentierte und die demnächst in den Annals of Mathematics erscheinen wird, konnte jedoch nicht einmal gezeigt werden, dass es überhaupt unendlich viele Paare aufeinanderfolgender Primzahlen gibt, deren Differenz kleiner als irgendeine feste Zahl ist. Deshalb gilt Zhangs Arbeit als Durchbruch. Mithilfe seiner Methoden hoffen Mathematiker weltweit, die Schranke von 70 Millionen noch deutlich senken zu können -- vielleicht sogar bis hin zur 2.

Die schwache Goldbach-Vermutung besagt, dass sich alle ungeraden Zahlen, die größer als 5 sind, als Summe dreier Primzahlen darstellen lassen. Diese sowie die starke Goldbach-Vermutung, dass jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, entstanden in einem Briefwechsel zwischen Euler und Goldbach im Jahr 1742. Während man von einem Beweis der starken Goldbach-Vermutung noch weit entfernt zu sein scheint, wurde bereits gezeigt, dass die schwache Goldbach-Vermutung für alle ungeraden Zahlen, die größer als 101346 sind, gilt. Nun hat der peruanische Mathematiker Helfgott ein Preprint veröffentlicht, in dem ein Beweis dafür, dass diese Schranke auf 1030 verringert werden kann, stehen soll. Da die schwache Goldbach-Vermutung für alle kleineren Zahlen schon mittels Computerhilfe bestätigt wurde, wäre sie damit bewiesen.

(tif/unh/arXiv)

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